בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב׳ – סדרה הנדסיתסדרות 571 · שיעור 65
קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 2
שיעור 65: בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב׳ – סדרה הנדסית
פרק 10 – 10 שאלות בגרות 571 – סדרות
1נוסח השאלה
2סעיף א – מציאת n
3סעיף ב – B הנדסית
4סעיף ג – הערך של a1
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית שבה 2n + 1 איברים (n הוא מספר טבעי).
כל איברי הסדרה a1 , a2 , a3 , ... , a2n+1 הם חיוביים.
סכום איברי הסדרה ללא שני האיברים הראשונים גדול פי 4 מסכום איברי הסדרה ללא שני האיברים האחרונים.
נתון כי סכום האיברים שנמצאים אחרי האיבר האמצעי גדול פי 256 מסכום האיברים שנמצאים לפני האיבר האמצעי.
א. מצאו את n.
📄 נוסח השאלה · המשך
המשיכו את הסדרה הנתונה, כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית.
נתון: B היא סדרה אין־סופית המקיימת לכל k טבעי bk = 1(ak + ak+1)2.
ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.
בסדרה B כופלים כל איבר שנמצא במקום זוגי ב־2.
נתון כי לאחר ההכפלה, סכום האיברים שנמצאים במקומות האי־זוגיים גדול ב־130 מסכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו את a1.
סעיף א – מציאת n
כל איבר הוא האיבר שנמצא שני מקומות לפניו כפול q2. לכן:
a3 + ... + a2n+1
= q2(a1 + ... + a2n−1)
כלומר "הסכום בלי שני הראשונים" הוא q2 כפול "הסכום בלי שני האחרונים". לפי הנתון:
q2 = 4
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
q = 2
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
סעיף א – מציאת n · המשך
q = 2
(האיברים חיוביים, ולכן q > 0.) האיבר האמצעי הוא an+1. לפניו n איברים ואחריו n איברים, וכל איבר אחרי האמצעי הוא האיבר המתאים לפניו כפול qn+1:
an+2 + ... + a2n+1
= qn+1(a1 + ... + an)
2n+1 = 256 = 28
n + 1 = 8
סעיף א – מציאת n · המשך
n + 1 = 8
n = 7
✅ פתרון סופי: n = 7
סעיף ב – B הנדסית
ak + ak+1 = ak + 2ak = 3ak
📐 איבר עוקב בסדרה הנדסית
bk = 1(ak + ak+1)2
bk = 1(3ak)2
bk = 19ak2
bk+1bk = 9ak29ak+12 = (akak+1)2 = (12)2 = 14
📐 מנה בסדרה הנדסית
המנה קבועה – הסדרה B הנדסית.
📐 איבר עוקב בסדרה הנדסית
ak+1 = ak · q , q = 2
📐 מנה בסדרה הנדסית
q = bk+1bk
סעיף ב – B הנדסית · המשך
המנה קבועה – הסדרה B הנדסית.
✅ פתרון סופי: הנדסית, q = 14
סעיף ג – הערך של a1
האיברים במקומות האי־זוגיים (סכומם S1): סדרה הנדסית עם איבר ראשון b1 ומנה (14)2 = 116:
S1 = b11 − 116 = 1615b1
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
האיברים במקומות הזוגיים אחרי ההכפלה (סכומם S2): איבר ראשון 2b2 = 2 · 14b1 = 12b1, אותה מנה:
S2 = 12b11 − 116 = 815b1
1615b1 − 815b1 = 130
815b1 = 130
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , |q| < 1
סעיף ג – הערך של a1 · המשך
815b1 = 130
b1 = 116
19a12 = 116
a12 = 169
a1 = 43
✅ פתרון סופי: a1 = 43
📌 סיכום התשובות
סעיף א
n = 7
סעיף ב
הנדסית, q = 14
סעיף ג
a1 = 43
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא